"Hay un plano totalmente horizontal (A) que intersecta con otro inclinado (B). En la intersección hay un punto (J). Una recta (X) inscrita en el plano B y perpendicular a la intersección pasa por el punto J. ¿Qué ecuación describe la pendiente de todas las rectas inscritas en B que pasan por J en función del ángulo que forman con X?"
A mi padre le da pereza intentarlo de todo el cálculo que incluye.
Mi madre no ha sabido resolverlo, aunque tampoco le ha dedicado más de 5 minutos.
Mi hermana dice que hace mucho tiempo de que dio ese tema en clase.
Yo me echo a temblar de intentarlo.
Con lo que no puedan un doctor en física, una licenciada en química y una matriculada en física, yo no voy a ir muy lejos.
Claro, que todos son unos perezosos y no le han dedicado un rato, así que os lo presento a vosotros con la esperanza de que le echéis un ojo y una solución en los comentarios.
Muchas gracias.
Pues ya he vuelto de la playa. ;)
ResponderEliminarEl problema no es muy complicado si se plantea en términos un poco más sencillos. Es necesario algo de trigonometría, eso sí.
Lo primero sería adoptar un sistema de referencia que nos simplifique las cosas. Si te parece bien, hagamos que el plano horizontal sea el plano XY y el punto J el (0,0,0). La recta de intersección podemos hacer que coincida con el eje X. No es más que un cambio de coordenadas que nos permite simplificar mucho los cálculos. Si te parece, también voy a cambiar una parte del planteamiento del problema: midamos el ángulo en relación al eje X y no a la 'recta X'. Al final es lo mismo, un ángulo alfa respecto al eje X será un ángulo 90 – alfa en tu notación... y resulta más cómodo ;)
Lo primero es describir la ecuacion del plano 'B'. Los planos pueden describirse genéricamente con una ecuación lineal del tipo Ax + My + Cz + D = 0. En éste caso, el plano 'B' (me has hecho sustituir una B por una M en la ecuación para evitar confusiones ;) ) tiene una ecuación muy sencilla: My – z = 0 (piénsalo si quieres, pero créeme que es así).
Puesto en éstos términos el problema es algo más sencillo se trata de calcular la altura 'z' de los puntos del plano B alejados en 1 unidad del eje de coordenadas (J). Si me alejo 1 m del origen en cualquier dirección y calculo la altura en ese punto tengo la pendiente en ese sentido ¿de acuerdo?.
Fíjate que para calcular la altura 'z' de cualquier punto del plano B me basta con conocer su coordenada 'y' gracias a lo que hemos simplificado la ecuación del plano. De hecho, nos vendría muy bien en éste punto definir el ángulo alfa como aquél definido entre el eje Y y lo que tu llamas recta X. En ese caso podemos redefinir M como tangente(alfa).
Vale, ahora tenemos que calcular la coordenada de 'y' de un punto alejado 1 unidad del origen y con un ángulo theta respecto al eje X. Es fácil ver que la coordenada 'x' (irrelevante en éste problema) es cos(theta). La proyección de la coordenada 'y' sobre el plano B será sen(theta) y su proyección al plano XY sen(theta)·cos(alfa).
Una vez que sabemos que dado theta, y = sen(theta)·cos(alfa) bastarían con multiplicar por M para hallar z, que es lo que estamos buscando.
Z = sen(theta).cos(alfa).M = sen(theta).cos(alfa).sen(alfa)/cos(alfa) = sen(theta).sen(alfa)
Dado un ángulo theta, la pendiente vendrá marcada por sen(theta).sen(alfa)
Un saludo
Pues muchas gracias. Ya sabía yo que algo tendrías que decir xD
EliminarPues sí... también tenía algo que decir sobre la entrada anterior... ¡anda que hay que tener jeta para tratar mal a tu hermano y echar la culpa a los pajarillos en el nido luchando por los gusanos! :D
EliminarDándole vueltas, creo que me falta un factor (todo por no usar lápiz y papel... ), ya que habría que dividir ese valor de z por el módulo (longitud) del vector proyectado sobre el plano XY, pero ese dato es fácil de obtener usando el teorema de Pitágoras ya que tenemos los dos catetos (valores de x e y). Seguramente poniendo todo en forma de senos y cosenos será posible hacer algunas simplificaciones.
ResponderEliminarUn saludo